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2乗に比例する関数 総合問題3 4解説

4. 直線lと放物線mが点AとBで交わっている。
点Aの座標は(-12, 18), Bのx座標は8である。
このとき次の問いに答えよ。

(1) △AOBの面積を求めよ。

(2)放物線上のAからOの間に点Pをとる。
△APBの面積が45となるときの点Pの座標を求めよ。
xylmABO

(1)
放物線mはAを通るので、代入してmの式を出す。
mの式を用いてBの座標を出し, A,B2点から直線lの式を出す。
△AOBをy軸で切断して面積を求める。

放物線mの式を出す
 y=ax2に(-12,18)を代入すると 18=144a
a=18
よって y=18x2

直線lの式を出す
 放物線y=18x2にx=8を代入すると y=8
A(-12,18), B(8,8)を通る直線の式を求めると
変化の割合 18-8-12-8 = -12
y =-12x+bに(8,8)を代入すると  
8=-4+b
b=12
よって y=-12x+12
xylmABO(-12, 18)8


直線lの切片をCとすると OC=12
OCを底辺として△ACOと△BCOの面積を出す。
△ACOの面積
A(-12,18)なので
 OCを底辺としたときの三角形の高さは12
よって面積は 12×12÷2=72


△BCOの面積
B(8,8)なので
 OCを底辺としたときの三角形の高さは8
よって面積は 12×8÷2=48
△AOB = △ACO+△BCO = 72+48=120
xylmABO(-12, 18)C128(8,8)12(0,12)

(2) y軸上に頂点があり、面積45となる三角形をつくり、等積変形で頂点を放物線上に移す。 y軸上のOからCの間に点Qをとり、
△AQB=45となるようにする。
Qの座標を(0,t)とするとCQ=12-t
△AQBの面積は
(12-t)×12÷2 + (12-t)×8÷2 = 120-10t
120-10t =45
-10t = -75
t = 152
xylmABOCQ

点Q(0, 152 )を通り直線lに平行な直線の式は
y =-12 x+ 152
この直線と放物線mとの交点を求める。
18 x2 = -12 x+ 152
x2 = -4x+60
x2 +4x -60=0
(x-6)(x+10)=0
x=6, -10
-12≦x≦0より x=-10
放物線の式に代入して
y=18(-10)2 = 252
xylmABOCQP

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