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2乗に比例する関数 総合問題4 4

4.
図のように放物線 y=12x2のグラフ上に3点A, B, Cがあり、そのx座標はそれぞれ、-6, 2, 8である。QはACの切片、点Pは線分AC上にあり、△AOCと四角形AOBPの面積が等しい。
(1) Pの座標を求めよ。

(2)Qを通り四角形AOBPの面積を2等分する直線の式を求めよ。
ABCOPQxy

等積変形 l//mなら△ABOと△DCOの面積は等しい
l m A B C D O

まず、A, B, Cの座標を求める。
放物線の式にxの値を代入して A, B, C各点の座標を出すと、 A(-6, 18), B(2,2), C(8,32)
次に直線ACの式を求める
傾き32-188-(-6)=1
y = x+bに C(8, 32)を代入
32 =8+b
b=24
よってAC : y=x+24
(1)
△AOCと四角形AOBPの面積が等しくなるには、
図の緑と赤の三角形の面積が等しければ良い。
等積変形の考え方から、OP//BCのとき
緑と赤の三角形の面積が等しくなる。
BCの傾きは 32-28-2 =5
よってOPの式 y=5x
PはACとOPの交点なので、
y=5xとy=x+24の交点を求める。
5x=x+24
4x=24
x=6 よってP(6, 30)

ABCOPQxy
(2)
四角形AOBPは△AOCと等しい面積なので△AOCの面積を求める。
△AOCをy軸で2分割して△AOQと△COQをそれぞれ求める。
ACの切片Q(0, 24)より, OQ=24これがそれぞれの三角形の底辺
△AOQはA(-6, 18)より高さ6なので24×6÷2=72
△COQはC(8,32)より高さ8なので24×8÷2=96
よって△AOC =72+96=168
四角形AOBPも168なので、それを二等分した図形の面積は84となる。


△AOQ=72であるから、あと12で84になるが、
△QOB = 24×2÷2=24なので
直線は、OBの中点を通る。
O(0,0), B(2,2)より中点(1,1)
Q(0,24)と(1,1)を通る直線
傾き 1-241-0=-23
よって y=-23x+24
ABCOPQxy7224

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