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2乗に比例する関数 総合問題4 5解説

5.
図1のような台形ABCDがある。点Pは頂点Dを出発して
毎秒2cmでD→A→B→Cと進み、Cで止まる。点QはPと同時
に頂点Aを出発し、 毎秒1cmでA→B→Cと進む。出発から
x秒後の点D, P, Qを頂点とする三角形の面積をycm2とする。
図2はxとyの関係をグラフにしたものである。
8cm14cmacmPQDABC図1
(1)aの値を求めよ。

(2)次のそれぞれの変域のときのyをxの式で表わせ。
① 0≦x≦4

② 4≦x≦8

③ 8≦x≦15

④ 15≦x≦22

xyO481522図2
(3)点A, P, Qを頂点とする三角形の面積が8cm2となるのは出発から何秒後か。すべて求めよ。

(1)
点Pは毎秒2cmで 8cm+acm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 11 + a2
点Qは毎秒1cmでacm+14cmを進むので
全体でかかる時間は 14 + a 秒
a > 0なので QのほうがあとにCに到着する
よって 14+a =22
a=8

(2)
0≦x≦4での△DPQは底辺がPD=2x, 高さがAQ=xなので
面積 y= 2x×x÷2 =x2
8cm14cm8cmPQDABCxcm2xcm
出発から4秒でPがAに到着するので
4≦x≦8ではP,Qともに辺AB上にある。
よって△DPQは
底辺がPQ=x-(2x-8)=-x+8,高さがAD=8なので
面積 y=(-x+8)×8÷2 =-4x+32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から8秒でP,Q同時に点Bに到着するので、
8≦x≦15ではP,Qともに辺BC上にあり、Pのほうが先を進む。
△DQPは、高さがAB=8
底辺はQP=2x-(x+8)=x-8
よって面積 y=(x-8)×8÷2 = 4x-32
8cm14cm8cmDABCPQ
出発から15秒で点PがCに到着するので
15≦x≦22ではPがCと一致していて、
QだけがBC上を動く。
よって△DQPは高さがAB=8、
底辺が QP=22-x
よって面積 y=(22-x)×8÷2=88-4x
8cm14cm8cmDABP(C)Q

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