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放物線と図形 3解説

3. 図で放物線mはy=12x2 で、直線nはy=x+12である。
これらのグラフの交点をA, Bとする。
(1) AとBの座標を求めよ。 (2) △AOBの面積を求めよ。 (3) 放物線m上のOからBの間に点Pをとり、
 △AOB=△APBとする。このときPの座標を求めよ
(4) 放物線m上のAからOの間に点Qをとる。
 △AQBの面積が40となるときのQの座標を求めよ。
m n O x y A B

座標平面上で三角形の面積を出すときは
1. x軸、またはy軸に平行な辺を底辺にする。
2. 軸に平行な辺が無いときは、軸に平行な直線で三角形を切断して
2つの三角形をつくりそれぞれで面積を出す。

3. 等積変形する。

(1) y=12x2 の式にy = x+12の式を代入すると
12x2 = x+12
x2 = 2x+24
x2 -2x -24=0
(x-6)(x+4) = 0
x=6, -4
x=6を y=x+12に代入するとy=18 よってB(6, 18)
x=-4を y=x+12に代入すると y=8 よってA(-4, 8)
【答】 A(-4, 8), B(6, 18)

(2) 直線nとy軸との交点(切片)をRとするとR(0,12)である。
△AOBをy軸で切断し、△AROと△ROBの2つに
分けてそれぞれで面積を出す。
△AROは底辺をROとすると底辺12,高さ4なので
面積は12×4÷2=24
△ROBも底辺をROとして底辺12,高さ6なので
面積は12×6÷2=36
よって△AOBの面積は24+36=60
【答】60
mnOxyABR6412
(3) 等積変形して、△AOBと等しい面積の△APBを作る。
原点Oを通り、直線nに平行な直線上に点Pをとれば
△AOB=△APBとなるので、その直線と放物線mとの交点が
求める点Pとなる。
平行な直線は傾きが等しいので直線nと平行な直線の傾きは1
これが原点を通るので直線の式はy=x
放物線mの式に代入すると 12x2 = x
x2 = 2x
x2 - 2x =0
x(x-2) =0
x =0, 2
x=0は原点なので、x=2をy=xに代入するとy=2
【答】P(2,2)
mnOxyABP
(4) 等積変形を使って考える。
頂点をy軸上にとって面積40の三角形を作る。
その三角形を等積変形して、頂点が放物線上にくる三角形を作る。
mnOxyABRS46t y軸上に点Sをとり、RSで切断して2つの三角形にする。RS=tとすると△ARS=4×t÷2=2t、△BRS=6×t÷2=3t、 よって△ASB=5t、この面積が40なので 5t=40 
t=8
よって S(0,4)
mnOxyABRS △ASBを等積変形する。頂点Sを通り直線nに平行な直線をひく。
S(0,4)で傾き1なので直線の式はy=x+4
mnOxyABRSy=x+4Q 直線y=x+4と放物線mのAからOまでの間の交点がQとなる。
y=12x2 にy=x+4を代入すると12x2 = x+4
x2=2x+8
x2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0
交点は(4, 8)と(-2, 2)
OからAの間にあるのは(-2,2)
【答】Q(-2, 2)

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