5.
放物線mはy=4x2, 放物線nは
y=
1
2
x2
である。
直線x=t (t>0)が
m, nと交わる点をそれぞれA, Bとする。
線分ABの長さは14である。
(1) tの値を求めよ。
(2) 放物線m上に点Pをとり、△ABPの面積が35になるようにする。 これを成り立たせるPの座標をすべて求めよ。
(3) 放物線n上に点Rをとり△ABO=△AROとなるようにする。 このようなRのx座標を一つ求めよ。
(1)Aの座標は(t,4t2),Bの座標は(t,12t2)なので
線分AB=4t2-12t2となる。
ABの長さが14なので4t2-12t2=14
これを解くとt=±2,
t>0よりt=2
(2)線分 AB を底辺として、高さ h とすると
14×h÷2=35、h=5
線分 AB が底辺の場合,高さは A の x 座標と
P の x 座標の差となるので P の x 座標を p とすると
p-2=5, または 2-p=5 となり、p=7, p=-3 となる。
よって P の座標は(-3,36) (7, 196)
(3) 等積変形を使うと直線 AO と平行で点 B を通る直線上に
Rをとれば △ABO=△ARO となる。
A(2, 16)より AO の傾きは 8なので、y=8x+bと表せる
これにB(2, 2) を代入すると
2=16+b
b=-14
直線の式は y=8x-14
この直線と放物線 n との交点が R となるので
12x2=8x-14これを解くとx=2,14
x=2はBなのでRのx座標は14
また、y=8x+14と放物線nとの交点からも同じ面積の△AROが作れるので
12x2=8x+14を解いて
x= 8±223 よって R の x 座標 8+223と、8-223
