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放物線と図形 5解説

5. 放物線mはy=4x2, 放物線nは y= 1 2 x2 である。 直線x=t (t>0)が
m, nと交わる点をそれぞれA, Bとする。 線分ABの長さは14である。
(1) tの値を求めよ。
(2) 放物線m上に点Pをとり、△ABPの面積が35になるようにする。 これを成り立たせるPの座標をすべて求めよ。
(3) 放物線n上に点Rをとり△ABO=△AROとなるようにする。 このようなRのx座標を一つ求めよ。
A B m n x y O

(1)Aの座標は(t,4t2),Bの座標は(t,12t2)なので
線分AB=4t2-12t2となる。
ABの長さが14なので4t2-12t2=14 これを解くとt=±2,
t>0よりt=2

(2)線分 AB を底辺として、高さ h とすると
14×h÷2=35、h=5
線分 AB が底辺の場合,高さは A の x 座標と
P の x 座標の差となるので P の x 座標を p とすると
p-2=5, または 2-p=5 となり、p=7, p=-3 となる。
よって P の座標は(-3,36) (7, 196)
ABPPmnxyx=t

(3) 等積変形を使うと直線 AO と平行で点 B を通る直線上に
Rをとれば △ABO=△ARO となる。
A(2, 16)より AO の傾きは 8なので、y=8x+bと表せる
これにB(2, 2) を代入すると
2=16+b
b=-14
直線の式は y=8x-14
この直線と放物線 n との交点が R となるので
12x2=8x-14これを解くとx=2,14
x=2はBなのでRのx座標は14
path id="Para830024" fill="none" stroke="black" d="M 340,280 m 40,-170 q -40,340 -80,0" />xyOABR
また、y=8x+14と放物線nとの交点からも同じ面積の△AROが作れるので
12x2=8x+14を解いて x= 8±223 よって R の x 座標 8+223と、8-223

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