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因数分解_標準問題 2解説

2.因数分解しなさい
4a2bc-12ab2c+8abc2 2x2-5x-3 49x2-16y2z2 6x2+7x-3 8x2y+10xy+3y x3-x x3-9x2+20x 3ax2-18ax+27a (x+2)2-5(x+2) (x+3)2+(x+3)-12 (2a+b)2-(a-2b)2 x2+6xy+9y2-25 x2+10x+25-y2 x2-2xy+y2-9

共通因数 4abc をくくりだす 4a2bc-12ab2c+8abc2
= 4abc×a-4abc×3b+4abc×2c
= 4abc(a-3b+2c)
-5xを +xと-6xにわけて,2x2+x と-6x-3のそれぞれで共通因数をくくりだす
すると(2x+1)が共通になるので 2x+1=Aとおきかえて,くくりだす
2x2-5x-3
= 2x2+x -6x-3
= x(2x+1) -3(2x+1)
= xA -3A
= A(x-3)
= (2x+1)(x-3)
49x2=(7x)2, 16y2z2=(4yz)2なので
7x=A, 4yz=Bとおきかえて因数分解する
49x2-16y2z2
= (7x)2-(4yz)2
= A2-B2
= (A+B)(A-B)
= (7x+4yz)(7x-4yz)
7xを-2xと9xにわけて, 6x2-2x と9x-3のそれぞれで共通因数をくくりだす
すると (3x-1)が共通になるので 3x-1=Aとおきかえて,くくりだす
6x2+7x-3
= 6x2-2x +9x-3
= 2x(3x-1) +3(3x-1)
= 2xA +3A
= A(2x+3)
= (3x-1)(2x+3)
共通因数yをくくりだす
10xを4xと6xにわけて考える
8x2y+10xy+3y
= y(8x2+10x+3)
= y(8x2+4x +6x+3)
= y{4x(2x+1)+3(2x+1)}
= y(4xA+3A)
= yA(4x+3)
= y(2x+1)(4x+3)
共通因数xをくくりだし,さらにかっこの中を因数分解 x3-x
= x(x2-1)
=x(x+1)(x-1)
共通因数xをくくりだし,さらにかっこの中を因数分解 x3-9x2+20x
= x(x2-9x+20)
= x(x-4)(x-5)
共通因数 3aをくくりだし、さらにかっこの中を因数分解 3ax2-18ax+27a
= 3a(x2-6x+9)
= 3a(x-3)2
x+2=Aとおきかえてくくりだす (x+2)2-5(x+2)
= A2-5A
= A(A-5)
= (x+2){(x+2)-5}
= (x+2)(x-3)
x+3=Aとおきかえて因数分解 (x+3)2+(x+3)-12
= A2+A-12
= (A-3)(A+4)
= {(x+3)-3}{(x+3)+4}
= x(x+7)
2a+b=A, a-2b=Bとおきかえて因数分解 (2a+b)2-(a-2b)2
= A2-B2
= (A+B)(A-B)
= {(2a+b)+(a-2b)}{(2a+b)-(a-2b)}
= (2a+b+a-2b)(2a+b-a+2b)
= (3a-b)(a+3b)
x2+6xy+9y2 だけで因数分解すると (x+3y)2になるので
x+3y=Aとおきかえて,さらに因数分解
x2+6xy+9y2-25
= (x+3y)2 -25
= A2 -52
= (A+5)(A-5)
= {(x+3y)+5}{(x+3y)-5}
= (x+3y+5)(x+3y-5)
x2+10x+25だけで因数分解すると (x+5)2になるので
x+5=Aとおきかえて,さらに因数分解
x2+10x+25-y2
= (x+5)2-y2
= A2 -y2
= (A+y)(A-y)
={(x+5)+y}{(x+5)-y}
=(x+y+5)(x-y+5)
x2-2xy+y2だけで因数分解すると(x-y)2になるので
x-y=Aとおきかえて,さらに因数分解
x2-2xy+y2-9
= (x-y)2 -9
= A2 -32
= (A+3)(A-3)
= {(x-y)+3}{(x-y)-3}
= (x-y+3)(x-y-3)

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