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平行四辺形の対角線 (3)

(3)
ABCDはAB=15cm, BC=25cm, ∠BAC=90°である。
対角線ACと, 対角線BDの長さをそれぞれ求めよ。
ABCD15cm25cm

ACを求める
直角三角形ABCで、斜辺BC=25cm, AB=15cmなので AC=xとすると
152+x2=252
x=±20
x>0よりx=20

BDを求める
AからBCに垂線をおろして交点をEとする。
AE=x, BE=yとするとEC=25-yとなるので
直角三角形ABEと直角三角形AECで
それぞれ三平方の定理が使えるので
x2+y2=152…①
x2+(25-y)2=202…②
①より x2=152-y2として、これを②に代入すると
152-y2+(25-y)2=202
225-y2+625-50y+y2=400
-50y=400-225-625
50y=450
y=9
よってx=12
ABCD15cm25cm20cmxyE
DからBCの延長上に垂線をおろし交点をFとすると
△ABE≡△DCFなので
DF=12cm, CF=9cmとなる。
すると直角三角形DBFでBF=34, DF=12なので
BD2=122+342
BD2=144+1156
BD2=1300
BD=±1013
BD>0よりBD=1013
ABCD15cm25cm20cm12cm9cm12cm9cmF

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