平行四辺形の対角線 (3)(4)

(3)
□ABCDはAB=15cm, BC=25cm, ∠BAC=90°である。
対角線ACと, 対角線BDの長さをそれぞれ求めよ。

(4)
□ABCDはBC=25cm, BD=40cm, 面積が600cm²である。 対角線ACの長さを求めよ。

(3)
ACを求める
直角三角形ABCで、斜辺BC=25cm,　AB=15cmなので AC=xとすると
15²+x²=25²
x=±20
x>0よりx=20

BDを求める
AからBCに垂線をおろして交点をEとする。
AE=x, BE=yとするとEC=25-yとなるので
直角三角形ABEと直角三角形AECで
それぞれ三平方の定理が使えるので
x²+y²=15²…①
x²+(25-y)²=20²…②
①より x²=15²-y²として、これを②に代入すると
15²-y²+(25-y)²=20²
225-y²+625-50y+y²=400
-50y=400-225-625
50y=450
y=9
よってx=12
DからBCの延長上に垂線をおろし交点をFとすると
△ABE≡△DCFなので
DF=12cm, CF=9cmとなる。
すると直角三角形DBFでBF=34, DF=12なので
BD²=12²+34²
BD²=144+1156
BD²=1300
BD=±1013
BD>0よりBD=1013

(4)
面積が600cm²なので、底辺をBC(25cm)とすると
高さは 600÷25=24となる。 DからBCの延長におろした垂線の交点をEとすると
直角三角形DBEで三平方の定理により
40²=BE²+24²
BE²=1600-576
BE²=1024
BE = ±32
BE>0よりBE=32
CE = 32-25=7
Aから垂線をおろし交点をFとする。
△ABFと△DCEは合同なので、AF=24, BF=7
FC=25-7=18となるので、
△AFCで三平方の定理により
AC²=24²+18²
AC² =900
AC=±30
AC>0より AC=30

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