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動点2 2解説

2.
右の図はAB=10㎝、BC=20㎝、∠ABC=90°の直角三角形である。
点Pは頂点Aを出発して毎秒1㎝でA→B→Cと進む。
PがAを出発してからx秒後の△APCの面積をy㎝2とする。
10cm 20cm P A B C
(1)yをxの式で表せ。(xの変域も書くこと)
(3)△APCの面積が25㎝2になるのはPが出発してから何秒後か。すべて求めよ。

毎秒1cmで、x秒間に進む道のりは x(cm)である。
点PはA→B→Cと進むので、辺AB上、辺BC上のそれぞれにPがあるときで
面積yの求め方が異なる。そのため、xの変域を分けて式を出す。

(1)
点Pが辺AB上にあるとき
AB=10なので、出発から10秒で点PがBに到達する。
よって変域は 0≦x≦10となる。
APの長さがPがx秒間に進んだ道のりなので
AP=xである。
このAPを底辺とすると、高さはCからABにおろした垂線
なのでBCである。
よって面積は x×20÷2 = 10x
式は y=10x
20cmABCP10cmx

点Pが辺BC上にあるとき
点PがBに到達するのが出発から10秒後で、
そこから20秒後、つまり出発から30秒後に
点Cに到達する。
よってxの変域は10≦x≦30となる。
△APCは辺PCを底辺とすると
高さは点AからBCにおろした垂線なので
10cmとなる。
図の青で示した線は出発からPが進んだ道のりで
長さはx(cm)である。
PCの長さはAB+BCからこのxを引けば良いので
PC=30-x
よって面積は (30-x)×10÷2=150-5x
式は y=-5x+150
20cmABC10cmP

(2)
1次関数のグラフは直線なので
変域の端の点を出して直線で結ぶ。
y=10x (0≦x≦10)
x=0のときy=0 (0,0)
x=10のときy=100 (10,100)

y=-5x+150 (10≦x≦30)
x=30のときy=0 (30,0)

※ x=10は y=-5x+150に代入しても
  y=100になる。

  ↓(0,0), (10,100), (30,0)を座標上にとる。
0102030(秒)xy10050(cm)2
  ↓(0,0), (10,100), (30,0)を直線で結ぶ。
0102030(秒)xy10050(cm)2


(3)
面積25cm2のときの秒を出すには
y=25をそれぞれの式に代入してxを出す。
25 =10x
x= 52

25 = -5x+150
5x = 125
x = 25

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