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円と接線2 2解説

2. 図で円Oが△ABCの各辺に接しており、点P,Q,Rが接点のとき、問いに答えよ。
ABCOPQR8115 ABCOPQR202129

円外の1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

円の接線は接点を通る半径と垂直である。


円外の1点からその円に引いた
2本の接線の長さは等しいので
AQ=AR, BR=BP, CP=CQである。
AQ=xとする。
AQ=AR=xなので
BR=5-AR
= 5-x
よって BP=5-x

CQ=11-AQ
=11-x
よってCP=11-x
BP+CP=8
5-x+11-x=8
-2x = -8
x=4
ABCOPQR8115xx

円外の1点からその円に引いた
2本の接線の長さは等しいので
AR=AQ, BR=BP, CQ=CPである。

また、接線は接点を通る半径と垂直なので
OQ⊥AC, OP⊥BCである。
さらに、∠C=90°(仮定)より∠QOP=90°となり、
四角形OPCQは全ての角が90°なので長方形であるが、
OQ=OP(半径)より全ての辺が等しくなるので
四角形OPCQは正方形となる。

円Oの半径をxとすると
CQ=CP=x より
AQ=21-x
よって AR=21-x

BP=20-x
よってBR=20-x

AR+BR=29
21-x+20-x=29
-2x = -12
x=6
ABCOPQR202129xx

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