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円と接線2 3解説

3.  図で円Oが△ABCの各辺に接している。△ABCの面積が360のとき円Oの半径を求めよ。
ABCOPQR362925

AO,BO,COに線をひき,△ABCを3つの三角形にわける。
「接点を通る半径と接線は垂直」なので
円Oの半径ORは△OABでABを底辺としたときの高さである。
同じく,半径OPは△OBCでBCを底辺としたときの高さ,
半径OQは△OCAでACを底辺としたときの高さとなる。
ABCOPQR362925

円Oの半径をrとすると
△OABの面積
底辺AB = 25, 高さOR = r より
△OAB = 25 × r ÷ 2 = 252r
△OBCの面積
底辺BC = 36, 高さOP = r より
△OBC = 36 × r ÷ 2 = 18r
△OCAの面積
底辺AC = 29, 高さOQ = r より
△OCA = 29 × r ÷ 2 = 292r
△ABCの面積が360なので
△ABC = △OAB + △OBC + △OCA より
360 = 252r+18r+292r
これを解くと
360 = 45r
r = 8

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