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合同の証明6 1解説

1. ABが∠CADの二等分線で、∠ACB=∠ADBのとき
 CB=DBとなることを証明せよ。
ABCD

合同な図形では「対応する辺がそれぞれ等しい。」
そのため
△ABC≡△ABDを証明すれば
CB=DBを証明できる。

仮定などを図に描き込む

ABが∠CADの二等分線 ABCD
∠ACB=∠ADB ABCD
三角形の内角の和は180°なので、2つの内角が等しければ、残り1つの角も等しくなる。ABCD
△ABCの辺ABは△ADBの辺でもある。(完全に重なり合って一致している)
これを「共通」という。
ABCD
すると「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」ので合同が証明できる。

【証明】
△ABCと△ABDにおいて
∠ACB=∠ADB(仮定)・・・①
∠CAB=∠DAB(ABが∠CADの二等分線)・・・②
∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB(三角形の内角の和は180°)・・・③
∠ABD=180°-∠ADB-∠DAB(三角形の内角の和は180°)・・・④
①、②、③、④より∠ABC=∠ABD・・・⑤
AB=AB(共通)・・・⑥
②、⑤、⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△ABD
合同な三角形の対応する辺は等しいのでCB=DB

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