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平行四辺形の性質の利用3 1

1.   図で四角形ABCDは平行四辺形である。また△BCEは∠CBE=90°,BC=BEの直角二等辺三角形で、△DCFは∠CDF=90°、CD=FDの直角二等辺三角形である。このとき△ABE≡△FDAを証明せよ。 A B C D E F

仮定の∠CBE=90°,BC=BE,∠CDF=90°,CD=FD,
さらに,平行四辺形の性質のうち,
△ABEと△FDAに関わるAB=CD,BC=AD
を図にかき入れる。
ACDEFB
△ABEと△FDAに着目すると
AB=FD,BE=DAとなっていることがわかる。

また,∠ABEと∠FDAについては角の引き算を考えると
∠ABE =360°-∠CBE-∠ABC
= 360°-90°-∠ABC
= 270° - ∠ABC

∠FDA =360°-∠FDC-∠CDA
= 360°-90°-∠CDA
= 270° - ∠CDA

平行四辺形の性質から
∠ABC=∠CDAとなるので
270°-∠ABC = 270°-∠CDA
よって ∠ABE = ∠FDA
ACDEF
すると2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABEと△FDAの合同が証明できる。

【証明】
△ABEと△FDAにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)…①
FD=CD(仮定) …②
①②よりAB=FD …③
BE=BC(仮定) …④
BC=DA(平行四辺形の対辺) …⑤
④⑤よりBE=DA …⑥
∠ABE=360-∠ABC-∠EBC …⑦
∠FDA=360-∠CDA-∠FDC …⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角) …⑨
∠EBC=∠FDC=90°(仮定) …⑩
⑦⑧⑨⑩より∠ABE=∠FDA… ⑪
③⑥⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA

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