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平行四辺形になるための証明1 1

図のようにAD//BCの台形ABCDがある。 辺ABの中点をEとしてDEの延長線とCBの延長線の交点をFとする。このとき四角形AFBDが平行四辺形となることを証明せよ。
A B C D E F

△AEDと△BEFに着目する
仮定より「ABの中点がE」となっているので
AE=BEである。
AD//BCより
平行線の錯角が等しいので
∠DAE=∠FBEである。
また、∠AEDと∠BEFは対頂角により等しい。
よって、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AED≡△BEFである。
ABCDEF

よってAD=BFとなるが
この1組の辺は平行でもあるので
「1組の対辺が平行でその長さが等しい」ので平行四辺形となる。
このほか「対角線がそれぞれの中点で交わる」でもできる。


△AEDと△BEFにおいて
AE=BE(EはABの中点)
∠AED=∠BEF(対頂角)
∠DAE=∠FBE(AD//BCの錯角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△AED≡△BEF
合同な図形の対応する辺は等しいのでAD=BF
AD//BC(仮定)よりAD//FB
よって一組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形AFBDは平行四辺形となる。 

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