(3)
ABCDで∠ABE=∠CDFのとき四角形EBFDが平行四辺形になること証明せよ。
△ABEと△CDFの合同を証明する。
仮定の∠ABE=∠CDFと,平行四辺形の性質で
△ABEと△CDFに関係するものを図にかき入れる。
すると1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなるので
△ABE≡△CDFである。
△ABE≡△CDFより合同な図形の対応する辺は等しいので
AE=CFである。
また,平行四辺形の対辺は等しいのでAD=CBである。
するとED=FBになる。
EDとFBは平行なので
1組の対辺が平行でその長さが等しいので
EBFDは平行四辺形となる。
【証明】
△ABEと△CDFにおいて
AB=CD(ABCDの対辺)
∠ABE=∠CDF(仮定)
∠BAE＝∠DCF(ABCDの対角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
対応する辺は等しいのでAE=CF
AD=CB(ABCDの対辺)
ED=AD-AE , FB=CB-CF
よってED=FB･･･①
AD//CB(ABCDの対辺)より ED//FB･･･②
①、②より一組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる。
