(4) 図のABCDで∠BAE=∠DCFのとき四角形AECFが平行四辺形となることを証明せよ。
∠BAE=∠DCFが仮定にあることから△BAEと△DCFに着目してこれらの合同を証明する。
△BAE≡△DCFが証明できればAE=CFとなるので、
「2組の対辺がそれぞれ等しい」または「1組の対辺が平行でその長さが等しい」
のどちらかの条件が考えられる。
今回は後者のほうが少し簡単にできるのでそちらで証明する。
仮定より∠BAE=∠DCF、
平行四辺形の性質よりAB=CD、
AB//CDで平行線の錯角より∠ABE=∠CDF
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDFとなる。
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAE=CF
さらにAEとCFの平行を証明するための錯角は
∠AEFと∠CFE であるが、
∠AEF=180°-∠AEB, ∠CFE=180°-∠CFD
∠AEB=∠CFD(合同な三角形の対応する角)なので、
180°から同じものを引くことになり ∠AEF=∠CFEとなる。
錯角が等しいため AE//CFである。
よって「1組の対辺が平行でその長さが等しい」ので
AECFは平行四辺形である。
