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平行四辺形になるための証明2 (1)

1.(1)
 ABCDにおいて∠ABCと∠CDAの二等分線が辺AD, BCとそれぞれE, Fで交わっている。  このとき四角形BFDEが平行四辺形になることを証明しなさい。
A B C D E F

∠ABCと∠ADCは平行四辺形の対角なので等しく,
BEが∠ABCの二等分線,DFが∠ADCの二等分線である。
よって,図のaで表した角がすべて等しくなる。
ABCDEFaaaa
さらに平行線の錯角が等しいので,
∠AEB,∠CFDもaに等しくなる。
ABCDEFaaaaaa
すると∠BFDと∠DEBはともに 180° -a で等しくなるので
2組の対角がそれぞれ等しくなりEBFDは平行四辺形となる。
ABCDEFaaaaaa180°-a180°-a
【証明】
 四角形EBFDにおいて
∠ABE=∠EBF(角の二等分線)・・・①
∠AEB=∠EBF(AD//CBの錯角)・・・②
∠CDF=∠FDE(角の二等分線)・・・③
∠CFD=∠FDE(AD//CBの錯角)・・・④
∠ABC=∠ADC(平行四辺形の対角)・・・⑤
①②③④⑤より∠ABE=∠AEB=∠EBF=∠CDF=∠FDE=∠CFD・・・⑥
よって、∠EBF=∠FDE・・・⑦
∠DEB=180°-∠AEB・・・⑧
∠BFD=180°-∠CFD・・・⑨
⑥ より∠AEB=∠CFDなので ∠DEB=∠BFD・・・⑩
⑦、⑩より2組の対角がそれぞれ等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる。

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