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放物線と面積 解説

1  放物線mは y= 1 4 x2 のグラフで、放物線nはy=x2のグラフである。放物線m上にありx座標が-4の点をAとする。放物線n上の0<xの部分に点Pをとり、直線APがy軸と交わる点をBとする。△ABOと△PBOの面積が等しくなるときの△AOPの面積を求めよ。 A B O P x y m n

△ABOと△PBOの面積が等しいのでBOを底辺としたときの高さ、Aからy軸までの距離とPからy軸までの距離が同じになる。
Aはx=-4であるから、Aからy軸までの距離が4、Pのx座標は正なのでPはx=4、これをy=x2に代入するとP(4, 16)
直線APはA(-4, 4)、P(4, 16)から y=32x+10
よってB(0,10) つまりBO=10
△ABO=10×4÷2=20、 △PBO=10×4÷2=20 よって△AOP=20+20=40

2  放物線mはy=x2のグラフで、放物線nは y= - 1 4 x2 のグラフである。直線y=-1と放物線nの交点をA,Bとする。放物線m上の0<xの部分に点Pをとり、△PAB=18になるときのPの座標を求めよ。 A B O P x y m n

A(-2, -1), B(2, -1)なのでAB=4
Pのx座標をpとすると P(p, p2)となる。
△PABでABを底辺とするとPからABに下ろした垂線の長さは
p2-(-1)=p2+1となる。
△PABの面積は18なので 4×(p2+1)÷2=18
p2=8
p=±22
Pのx座標は正なので P(22, 8)

3  放物線mは y= - 1 4 x2 のグラフで、放物線nはy=-x2
グラフである。放物線mと直線y=-1との交点をA,Dとし、
放物線nと直線y=-9との交点をB,Cとする。
点Aを通り台形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
x y O m A n B C D y=-1 y=-9

台形の面積を求めてから、それの半分の面積の三角形を作るように直線を引く。

x y O m A n B C D y=-1 y=-9 P A,B,C,Dの座標を求める。
y= − 1 4 x2にy=-1を代入すると
-1=− 1 4 x2
x=±2
A(-2,-1), D(2,-1)
y=-x2にy=-9を代入して
-9=-x2
x=±3
B(-3,-9),C(3,-9)

台形ABCDの面積を求める。
AD=2-(-2)=4・・・上底
BC=3-(-3)=6・・・下底
-1-(-9)=8・・・高さ
面積=(4+6)×8÷2=40

台形ABCDの面積を2等分する直線とBCとの交点をPとすると
△ABPの高さは台形ABCDと同じ8で面積は半分の20
BPの長さをdとして面積を求める方程式を作ると
d×8÷2=20
これを解いてd=5
Bのx座標が-3なのでPのx座標は2
つまりP(2,-9)
A(-2,-1)とP(2,-9)を通る直線を求めると
y=-2x-5

4. 放物線m上に点A(4,8)がある。点Aからy軸、x軸にそれぞ
れ垂線を引き、交点をB,Cとする。放物線m上に点Pをとり、
△ABP:△ACP=7:6となるときの点Pの座標を求めよ。ただ
し、Pのx座標は0<x<4とする。
A B C O x y m

A B C O x y m P (4,8) 点A(4,8)が放物線上にあるのでy=ax2に代入してa=12
つまり放物線はy=12x2となる。
求める点Pのx座標をtとすると、放物線の式に代入して
y=12t2
Pの座標は(t, 12t2)とあらわる。
△ABPの面積は、底辺ABが4, 高さは(8-12t2)なので
面積=4×(8-12t2)÷2=16-t2
△ACPの面積は、底辺ACが8, 高さは(4-t)なので、
面積=8×(4-t)÷2=16-4t
これらが7:6の比になるので, (16-t2):(16-4t)=7:6
6(16-t2)=7(16-4t)
96-6t2=112-28t
6t2-28t+16=0
3t2-14t+8=0
これを解くとx=4, 23
0<x<4なのでx=23
放物線の式に代入するとy=29 となる。

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