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1次関数総合問題Lv2 4

4.次の問いに答えよ。
2直線 y=-3x+10とy=5x-6の交点を求めよ。 3x+4y+1=0において、xの変域が-3≦x≦mのときのyの変域が -4≦y≦nである。m,nの値をそれぞれ求めよ。 y=-2x+bにおいて, xの変域がp≦x≦4のときyの変域が-1≦y≦5である。bとpの値をそれぞれ求めよ。 3点(-6, 4),(4, t),(8, -3)が1直線上に並んでいる。このときのtの値を求めよ。 A(1,10), B(4,2)のとき、y=2x+bのグラフが線分AB(両端を含む)と交点を持つようなbの値の範囲を求めよ。

直線の交点は式を連立方程式として解いて出す。
y=-3x+10 y=5x-6
これを解くと x=2, y=4

3x+4y+1=0をyについて解くと y=-34x-14 となり、傾きが負である。
1次関数で傾きが負なら、yの最大値はxが最小のときなので、x=-3のときy=nである
式に代入すると 3×(-3)+4n+1=0
これを解くと n=2
また、yの最小値はxが最大のときなので、x=mのときy=-4である。
これを式に代入すると 3m+4×(-4)+1=0
これを解くと m=5

1次関数で傾きが負なら、yの最大値はxが最小のとき、yの最小値はxが最大のときになる。
よってx=4のときy=-1, またx=pのときy=5である。
x=4, y=-1を式に代入すると -1=-2×4+b
b=7
よって関数の式はy=-2x+7となる。
x=p, y=5をこの式に代入すると 5=-2p+7
2p=2
p=1

3点が一直線上に並んでいるので、(-6, 4)と(4,t)の2点から求める傾きと、(-6,4)と(8,-3)の2点からもとめる傾きが等しくなる
4-t-6-4 = 4-(-3)-6-8
4-t-10 = 7-14
4-t=5
t=-1

y=2x+bは傾きが2と決まっているので、
切片bが変化するとグラフは平行移動する。
線分ABと交わるようなグラフで
切片bが最大になるのは、グラフが点A(1,10)を通るときである。
また切片bが最小になるのはグラフが点B(4,2)を通るときである。
bABy=2x+bxyO
y=2x+bにx=1,y=10を代入すると 10=2+b
b=8
y=2x+bにx=4,y=2を代入すると 2=8+b
b=-6
よってbの範囲は -6≦b≦8

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