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因数分解4 2解説

2.
(1) x2+15x+n を因数分解したら(x+5)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。
(2) x2-2x+n を因数分解したら(x-6)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。
(3) x2+3x+n を因数分解したら(x+8)(x+a) となった。aとnの値を求めよ。
(4) x2+mx+20 は因数分解できる。そしてmは自然数である。あてはまるmをすべて求めよ。
(5) x2+mx-24 は因数分解できる。そしてmは自然数である。あてはまるmをすべて求めよ。
(6) x2+ax+18 を因数分解すると(x+m)(x+n) となる。a,m,nは全て整数である。aの値をすべて求めよ。
(7) 因数分解しなさい (x+y)(a+b)2-2(x+y)(a+b)-15(x+y)

(1) 因数分解は展開の逆なので、
「x2+15x+n を因数分解したら(x+5)(x+a)になる。」は
「(x+5)(x+a)を展開したらx2+15x+nになる。」と同じである。

(x+5)(x+a)を展開すると (x+5)(x+a)=x2+(a+5)x+5a
これがx2+15x+nとなるので、
xの係数が等しい a+5=15
定数項が等しい 5a=n
よってa=10, n=50

(2) (x-6)(x+a) を展開する。
(x-6)(x+a) = x^2+(a-6)x-6a
これが x^2-2x+nとなる。
xの係数が等しい a-6 = -2
定数項が等しい -6a = n
よって a=4, n=-24

(3) (x+8)(x+a)を展開する。
(x+8)(x+a)=x^2+(8+a)x+8a
これが x^2+3x+nになるので
xの係数が等しい 8+a = 3
定数項が等しい 8a = n
よって a=-5, n=-40

(4) x2+mx+20が因数分解できる場合、a, bを整数として
x2+mx+20 = (x+a)(x+b) と表すことが出来る。
x2+mx+20 = x2+(a+b)x+ab
つまり ab =20, a+b =m である。
mは自然数なので ab > 0, a+b > 0から a, bとも自然数である
積が20となるような自然数a,bの組合せは
  1×20, 2×10, 4×5 である。
よって mは
1+20 =21, 2+10 =12, 4+5=9

(5) x2+mx-24が因数分解できる場合、a,bを整数として
x2+mx-24=(x+a)(x+b)と表すことが出来る。
x2+mx-24 = x^2+(a+b)x+ab である。
よって ab = -24, a+b =mとなる。
積が -24で、和が正となる整数の組み合わせは
(-1,24) (-2, 12) (-3, 8) (-4 6)の4つである。
よって
m = -1+24=23
m = -2+12=10
m = -3 + 8=5
m = -4 + 6=2

(6) x2+ax+18 =( x+m)(x+n) より
x2+ax+18 = x^2 +(m+n)x +mn
積が18となる整数の組み合わせは
(1,18) (2,9) (3, 6) (-1,-18) (-2,-9) (-3, -6)
a = m+n なので
a= 1+18 = 19
a= 2+9=11
a= 3+6=9
a= -1-18=-19
a= -2-9=-11
a= -3-6=-9

(7) (x+y)=A, (a+b)=Bと置き換える。
(x+y)(a+b)2-2(x+y)(a+b)-15(x+y)= AB2-2AB-15A← Aが共通因数なのでくくりだす=A(B2-2B-15)← ( )の中を因数分解できる=A(B+3)(B-5)← A,Bをもとにもどす=(x+y)(a+b+3)(a+b-5)

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