1. 図は一辺12㎝の立方体である。AP=3㎝、BQ=7㎝とする。
D,P,Qを通る平面でこの立方体を切ったときの切り口をDPQSとする。
(1) CSの長さを求めよ。
(2) 切断してできる立体のうち頂点Bを含む方の立体の体積を求めよ。
(1)
立体を平面で切断した場合、対面に現れる直線は平行になる。
この場合 PQ//DS, PD//QSである。
図のようにPからABに平行に線を引いて△PJQをつくると
△PJQは△DCSと全く同じ三角形(合同)になる。よってAP=BJ,JQ=CS
AP=3cm,BQ=7cmなのでCSは、7-3=4
答4cm
(2)
切断してできる立体のうちBを含むほうは図2のようになる。
このままでは体積を出すことができないのでさらに切断する。
図3のように点D, B, Qを含む平面で切断する。
すると2つの四角錐ができる。
1つはDを頂点として台形APQBが底面となっている。
台形APQBはAP=3, BQ=7, AB=12なので
面積 (3+7)×12÷2 =60
四角錐の高さAD=12なので
体積 60×12÷3=240
もう1つはDを頂点として台形BQSCが底面となっている。
台形BQSCはCS=4, BQ=7, BC=12なので
面積 (4+7)×12÷2=66
四角錐の高さDC=12なので
体積 66×12÷3=264
これら2つの体積を足すと 240+264=504
答504cm3
2.
図のような１辺6cmの立方体がある。ACとBDの交点をO,
辺EF,FG,GH,HE,の中点をそれぞれP,Q,R,Sとする。
このとき四角錐OPQRSの体積を求めよ。
四角錐OPQRSの高さは立方体と同じ6cmである。
底面PQRSは図のようになるので、
面積は正方形EFGHから三角形を4つ引けば良い。
6×6-3×3÷2×4=36-18=18
体積 18×6÷3=36
3. 図１のように底面がDE=EF=12cmの直角二等辺三角形で高さが6cmの三角柱の容器に水をいれる。それを静かに傾けて水をこぼしていき図２のように水面が３点B,C,Dを通る状態でとめた。このとき容器に入っている水は何cm3か求めよ。
柱の体積 = 底面積×高さ
錐の体積 = 底面積×高さ÷3
体積を求める場合
まず求める立体の形を見極める ・・・柱か、錐か、またはそれらの組み合わせか
錐の高さは頂点から底面におろした垂線の長さである。
図のD-BEFCは底面が長方形BEFCの四角錐である。
DE⊥BE,DE⊥EFなのでDEがこの四角錐の高さとなる。
よって
底面の面積 12×6=72
高さ 12
四角錐の体積 72×12÷3=288
4. 図の四角錐は側面が１辺6cmの正三角形になっている。点Pから側面を通り点Qまで行くときの 最短の道のりを求めよ。ただしCP=４㎝、AQ=2㎝である。
立体側面を通る最短の道のりを求めるには
展開図を描いて、直線を引く。
展開図のうち、△ABCと△ACDの部分だけ描くと図のようになる。
AQ=2cm, PD=2cmなので四角形AQPDは平行四辺形になり、PQ=DAである。
よってPQ=6cm
5. 図1のような紙コップがある。図2のようにこの紙コップを倒し、すべらないようにして床の上を転がすとき、転がし始めた位置に戻るまでに紙コップは何回転するか求めよ。
紙コップを一周させたときに
口のほう(直径10cm)の円が通ったあとを実線で表し、
底のほう(直径6cm)の円が通ったあとを点線で表す。
点線で表した円の半径をxcmとすると
実線で表した円の半径は(x+12)cmである。
よって、点線の円周は2πxcm、
実線の円周は2π(x+12)cmとなる。
また、コップの口のほうの円周は10πcm、
底のほうの円周は6πcmである。
実線の円周2π(x+12)の上を10πの円が転がって一周するときの
回転数は 2π(x+12)10πとなる。
また、点線の円周2πxの上を6πの円が転がって一周するときの
回転数は2πx6πとなる。
これらが等しいので
2π(x+12)10π=2πx6π
3(x+12)=5x
3x+36=5x
2x=36
x=18
2πx6πにx=18を代入
回転数=36π6π
=6
