図のABCDでEはABの中点、BF:FC=2:1のとき四角形GEBHとABCDの面積比を求めよ。
線分比AG:GF、AH:HFを出し、それを使ってAG:GH:HFの線分比を出す。
高さが同じ三角形では底辺の比が線分の比となることを使って面積比を出す。
1. AG:GFを出す。
GEを延長してCBの延長線との交点をPとする。
△AED∽△BEPと△AGD∽△FGPの２組の相似が出来る。
△AED∽△BEPでAE:BE=1:1なのでAD:BP=1:1、BF:FC=2:1よりAD:BF=3:2
AD:FP=3:5より△AGD∽△FGPの相似比は3:5よってAG:GF=3:5
2. △AHD∽△FHBでAD:FB=3:2より相似比が3:2なのでAH:HF=3:2
3. 1,2をつかってAG:GH:HFを出す。
AF=40とするとAG:GF=15:25,AH:HF=24:16
すると
AG:GH:HF=15:9:16
4. EHに補助線を引き、三角形を作る。
AG:GH=15:9なので△AGE:△GEH=15:9
△AEH=15+9=24とするとAE:EB=1:1より△AEH:△BEH=1:1なので△BEH=24
△ABH=24+24=48とするとAH:HF=3:2より△ABH:△FBH=3:2なので△FBH=32
△ABF=48+32=80とするとBF:FC=2:1より△ABF:△AFC=2:1なので△AFC=40
△ABC=80+40=120とするとABCD=240となる。
四角形GEBH=△GEH+△BEH=9+24=33
よって四角形GEBH:ABCD=33:240=11:80
