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式の計算応用(図形) 4

4.
△ABCはAB=AC,BC=2aの直角二等辺三角形である。辺BC上にDE=aとなるように2点D,Eをとる。 Dを通りBCに垂直な直線とABとの交点をF, Eを通りBCに垂直な直線とACとの交点をGとする。 四角形FDEGの面積をaを用いて表わせ。
ABCDEFG2aa

BC=2a, DE=aなので、DB+EC=aとなる。
また、△ABCがAB=ACの直角二等辺三角形なので
∠B=∠C=45°である。
すると△DBFで、∠FDB=90°なので、∠DBF=∠DFB=45°となり
DF=DBである。
同じように△ECGも∠GEC=90°で∠ECG=∠EGC=45°なので
EG=ECである。
ABCDEFG2aa
台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2なので
台形FDEGの面積 = (DF+EG)×DE÷2となるが、
上記よりDF=DB, EG=EC、さらにDB+EC=aなので
台形FDEGの面積 = (DF+EG)×DE÷2 = a×DE÷2 = a×a÷2 = 12a2

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