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二等辺三角形2 2

2. 右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
A B C D E F

【二等辺三角形になるための条件】
・2辺が等しい(定義)
・2角が等しい

△FBCが二等辺三角形になることを証明するために、∠FBC=∠FCBを示す。
そのために△DBCと△ECBの合同を証明する。

仮定より DB=CE
BCが共通
ABCDEFBCDEBC

もう1つの仮定
△ABCがAB=ACの二等辺三角形なので
∠ABC=∠ACBである。
これは△DBCと△ECBでは
∠DBC=∠ECBとなる。
ABCDEFBCDEBC

すると「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件を満たすので△DBC≡△ECBである。
BCDEBC

【証明】
△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

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