おうぎ形(半径と弧、または面積から中心角を出す)　5

5. 次の問いに答えよ。
(1) 半径152㎝、面積10π㎝²のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(2) 半径5cm,面積2πcm²のおうぎ形の弧の長さを求めよ。
(3) 半径7cm,面積42πcm²のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

おうぎ形の面積　 = 半径 × 半径 × π × 中心角360°

おうぎ形の弧の長さ　= 直径 × π × 中心角360°
(1)
まず,中心角を求める。
面積をもとめる式を使い,中心角をa°として方程式をつくる。
面積　= 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に　面積=10π, 半径=152,　中心角=a° を代入すると
10π = 152 × 152 × π × a360
10 = 532a
a = 64
中心角が64°とわかったのでこの中心角を使って弧の長さをもとめる。
弧の長さ　= 直径 × π × 中心角360°　より
弧の長さ =15×π×64360
=83π (cm)

(2)
面積　= 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=2π, 半径=5, 中心角=a°を代入すると
2π=5×5×π×a360
2=572a
a=1445
中心角1445°として弧の長さを求める。
弧の長さ　= 直径 × π × 中心角360°　より
中心角360°=1445×1360=1441800なので
弧の長さ =10×π×1441800
=45π (cm)

(3)
面積　= 半径 × 半径 × π × 中心角360°
この式に面積=42π, 半径=7, 中心角=a°を代入すると
42π=7×7×π×a360
42=49360a
a=21607
中心角21607°として弧の長さを求める。
弧の長さ　= 直径 × π × 中心角360°より
中心角360°=21607×1360=67なので
弧の長さ = 14 ×π× 67
=12π (cm)

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