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三平方の定理1 1

1.
図のように正方形ABCD各辺にAE=BF=CG=DHとなる点を取り、各点を
結んだ正方形EFGHをつくる。AE=a㎝、EB=b㎝、EF=c㎝とする。
これを使って三平方の定理(c2 =a2+b2)を証明せよ。
A B C D E F G H

ABCDEFGHababababcccc 正方形EFGHの面積を2通りの表し方で出して,イコールで結び等式をつくる。
正方形EFGHの面積をSとする。

正方形の面積 = 1辺×1辺より
正方形EFGHの1辺の長さは問題よりcである。
よって S = c2・・・①

正方形EFGHの面積 = 四角形ABCDの面積 -△AEH-△EBF-△FCG-△GDH
正方形EFGHの1辺の長さは (a+b)なので
正方形EFGHの面積 = (a+b)2
△AEHは底辺をAH=bとすると∠A=90°より高さはAE=aである。
よって△AEHの面積 = ab2
他の3つの三角形の面積も同じなので
S = (a+b)2 - 4× ab2
= a2+2ab+b2 -2ab
= a2 +b2 ・・・②


①を②に代入すると
c2 = a2+b2


【証明】
四角形EFGHの面積をSとすると
一辺がcなので
S=c2 ・・・①
四角形ABCDから4つの三角形の面積を引いて求めると、
S=(a+b)2-4(a×b× 1 2 )
=a2+2ab+b2-2ab
=a2+b2・・・②
①、②より c2=a2+b2

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