三平方の定理1 1

1.
図のように正方形ABCD各辺にAE=BF=CG=DHとなる点を取り、各点を
結んだ正方形EFGHをつくる。AE=a㎝、EB=b㎝、EF=c㎝とする。
これを使って三平方の定理(c² =a²+b²)を証明せよ。

正方形EFGHの面積を2通りの表し方で出して,イコールで結び等式をつくる。
正方形EFGHの面積をSとする。

正方形の面積 = 1辺×1辺より
正方形EFGHの1辺の長さは問題よりcである。
よって S = c²・・・①

正方形EFGHの面積 = 四角形ABCDの面積 -△AEH-△EBF-△FCG-△GDH
正方形EFGHの1辺の長さは (a+b)なので
正方形EFGHの面積 = (a+b)²
△AEHは底辺をAH=bとすると∠A=90°より高さはAE=aである。
よって△AEHの面積 = ab2
他の3つの三角形の面積も同じなので
S = (a+b)² - 4× ab2
= a²+2ab+b² -2ab
= a² +b² ・・・②

①を②に代入すると
c² = a²+b²

【証明】
四角形EFGHの面積をSとすると
一辺がcなので
S=c² ・・・①
四角形ABCDから４つの三角形の面積を引いて求めると、
S=(a+b)²-4(a×b× 1 2 )
=a²+2ab+b²-2ab
=a²+b²・・・②
①、②より c²=a²+b²

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