図は1辺6ｃｍの立方体であるこの立方体を頂点A,F,Cを通る平面で切断する
(1)切断してできた三角錐ABCFの体積を求めよ。
(2)切断面は三角形となるが、その△AFCの面積を求めよ。
(3)頂点Bから、面AFCに降ろした垂線の長さを求めよ。
(1)
三角錐ABCFは底面を△ABFとすると、高さがBC=6となる。
△ABFはAB=BF=6の直角二等辺三角形なので
その面積は 6×6÷2=18
よって三角錐の体積は 18×6÷3=36
(2)
△ABFがAB=BF=6の直角二等辺三角形なので、AF=62である。
△ABC, △CBFも同様になるので、△AFCは1辺62の正三角形となる。
頂点FからACに垂線をおろすと△AMFは30°,60°,90°の
特別な直角三角形となり、
辺の比が2:1:3になる。
よってAF=62なので、AM =32、
MF=36
面積は62×36÷2=183
(3)
(1)では三角錐ABCFの底面を△ABFとしたが、△AFCを底面とすると、そのときの高さは頂点Bから面AFCにおろした垂線の長さになる。
頂点Bから面AFCにおろした垂線の長さをxとすると
△AFCの面積×x÷3 = 三角錐ABCFの体積 と表せる。
三角錐ABCFの体積と△AFCの面積はそれぞれ(1),(2)で出してあるので、それを代入して方程式を解けばxが出る。
183 × x ÷ 3 = 36
63x = 36
x = 2 3
