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三平方の定理6 6(2)解説

6. 図は側面が正三角形の正四角錐で、一辺の長さは6㎝である。
(2) 辺AD上にAP=2cmとなる点Pをとる。頂点Bから
辺ACを通りPまで行くときの最短の道のりを求めよ。
A B C D E P

立体表面を通る最短の道のりを出すには、展開図にして直線を引く
図のようにBからPまで
最短の道のりで行く場合、面ABCと面ACDを通る。
ABCDEP
四角錐の展開図のうち、△ABCと△ACDの部分だけ
抜き出すと図のようになる。
どちらの三角形も正三角形で1辺6cmなので
∠BAP=120°、AB=6cm、AP=2cmとなる。
ABCDP PAの延長上にBから垂線をおろして
交点をQとする。
∠BAQ=60°なので∠ABQ=30°となり、AB:AQ:QB=2:1:3
よってAQ=3cm, QB=33cm
すると直角三角形QBPでQB=33cm、QP=5cmなので
三平方の定理により (33)2+52 = BP2
BP2 = 27 +25 = 52
BP = ±213
BP>0より BP = 213
ABP120°62Q

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