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三平方の定理6 2

1辺3㎝の正四面体の体積と表面積を求めよ。

表面積
1辺3cmの正三角形の面積を出す。
頂点Aから辺BCに垂線AMを引くと
△ABMは30°、60°、90°の直角三角形となる。
AB=3なのでAB:AM=2:3より
AM = 332
これが△ABCの高さなので
面積 △ABC = 3×332 ÷2=934
正四面体は各面が合同な正三角形なので
表面積 = 934×4 = 93
ABC3cm3cm3cmM60°3√3─2

体積
BCの中点Mと頂点A, Dを通る平面で、正四面体を2つに分ける。
するとAM⊥BC, DM⊥BCなので面AMDとBCは垂直である。
よって、2つに分けた三角錐で面AMDを底面とすると
BM,CMがそれぞれの三角錐の高さとなる。(BM=CM=32)
ABCDM

底面△AMDの面積を出す
表面積のときに出したとおりAM =332
同様にDM = 332
よって△AMDはAM=DMの二等辺三角形である。
頂点Mから辺ADに垂線MNをおろすとNはADの中点なのでAN=32
三平方の定理よりAM2 = MN2 + AN2なので
(332)2 = MN2 + (32)2
274 = MN2 + 94
MN2 = 274 - 94
MN2 = 184
MN = 322
よって△AMD = 3×322÷2 =924
MDAN

正四面体を2つに分けた三角錐B-AMDの体積は
924 × 32 ÷ 3 =928
三角錐C-AMDも同じなので
正四面体の体積 928 × 2 = 924

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