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三角形証明(発展1) 3

3. 次の図で△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形である。AとCから直線mにおろした垂線の交点をそれぞれD,Eとする。AD=BEを証明せよ。
m A B C D E

AD=BEを証明するために,△ADB≡△BECを証明する
仮定を図にかきいれる
∠ABC=90°,AB=CB,∠ADB=90°,∠BEC=90°
mABCD E
点Bの部分に注目すると,
直線は180°なので
∠DBA+90°+∠EBC=180° である。
これを変形すると
∠EBC = 90° - ∠DBA …①となる。
mABCD E
△ADBの内角の和に注目すると
∠DBA+90°+∠DAB =180°である。
これを変形すると
∠DAB = 90° - ∠DBA …②となる。
mABCD E
①,②の式はともに右辺が 90° - ∠DBA で等しくなっているので
∠DAB = ∠EBC だとわかる。
この条件を図に加えてみると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しくなっているので
合同が証明できる。
mABCD E
【証明】
△ADBと△BECにおいて
∠DAB=180°-∠ADB-∠DBA (三角形の内角の和は180°)・・・①
∠EBC=180°-∠ABC-∠DBA (直線の角は180°)・・・②
∠ADB=∠ABC=90°(仮定)・・・③
①、②、③より∠DAB=∠EBC・・・④
AB=BC (仮定)・・・⑤
∠ADB=∠BEC =90°(仮定)・・・⑥
④、⑤、⑥より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ADB≡△BEC
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAD=BE

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