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三角形証明(発展2) 2

2. △ABCは直角二等辺三角形である。頂点Bを通る直線にA,Cから垂線をおろしその交点をそれぞれD,Eとする。このときBD=CEとなることを証明しなさい。
A B C D E

仮定を図に描き込む。
BDとCEを1辺とする三角形は△ABDと△BCE
この2つの三角形は仮定から直角三角形で,
斜辺が等しいとわかる。
△ABD≡△BCEを証明するため残りの条件をみつける。
ABCDE
点Bの周辺に注目すると
∠ABC=90°なので
∠ABD+∠CBE=90°
式を変形すると
∠ABD = 90° - ∠CBE …①
ABCDE
△BCEに注目すると
内角の和は180°なので
∠BCE+90°+∠CBE=180°
式を変形すると
∠BCE = 90° - ∠CBE …②
ABCDE
①,②の式はともに右辺が 90°-∠CBE で等しくなっているので
∠ABD = ∠BCE となる。
この条件を加えると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCEが証明できる。
ABCDE 【証明】
△ABDと△BCEにおいて
∠ABD=∠ABC-∠CBE
∠ABC=90°(直角二等辺三角形)より
∠ABD=90°-∠CBE・・・①
∠BCE=180°-∠CEB-∠CBE (三角形の内角の和は180°)
∠CEB=90°(垂線)より
∠BCE=90°-∠CBE・・・②
①、②より∠ABD=∠BCE・・・③
∠ADB=∠BEC=90°(垂線)・・・④
AB=CB(直角二等辺三角形)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABD≡△BCE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE

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