図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。
仮定は
ABCDが正方形であること
AE,CFがそれぞれmと垂直であること
である。
着目する三角形は△ABEと△BCFで,
AE,CFがそれぞれmと垂直であることから,
∠AEB=∠BFC=90° となる。
また,ABCDが正方形であることから
すべての辺が等しいので AB=BC である。
さらに正方形はすべての角が90°なので
∠ABE+∠CBF=90°
よって, ∠ABE = 90°-∠CBF
また,△BCFで内角の和は180°,∠BFC=90°より
∠BCF+∠CBF +∠BFC= 180°
∠BCF +∠CBF +90°= 180°
よって, ∠BCF = 90° - ∠CBF
∠ABE, ∠BCFがともに (90° - ∠CBF) で表せるので等しいことがわかる。
したがって ∠ABE = ∠BCF
わかった条件を図示すると
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCFとなる。
【証明】
△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°（正方形の角）より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC（正方形の辺）・・・④
∠AEB=∠BFC=90°（垂線）・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF
