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三角形証明(発展3) 3

図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。
A B C D E F m

仮定は
ABCDが正方形であること
AE,CFがそれぞれmと垂直であること
である。

着目する三角形は△ABEと△BCFで,
AE,CFがそれぞれmと垂直であることから,
∠AEB=∠BFC=90° となる。
また,ABCDが正方形であることから
すべての辺が等しいので AB=BC である。
ABCDEFm
さらに正方形はすべての角が90°なので
 ∠ABE+∠CBF=90° 
よって, ∠ABE = 90°-∠CBF
ABCDEFm
また,△BCFで内角の和は180°,∠BFC=90°より
 ∠BCF+∠CBF +∠BFC= 180°
 ∠BCF +∠CBF +90°= 180°
 よって, ∠BCF = 90° - ∠CBF
ABCDEFm
∠ABE, ∠BCFがともに (90° - ∠CBF) で表せるので等しいことがわかる。
したがって ∠ABE = ∠BCF
わかった条件を図示すると
ABCDEFm
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCFとなる。

【証明】

△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°(正方形の角)より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC(正方形の辺)・・・④
∠AEB=∠BFC=90°(垂線)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF

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