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式の計算総合問題4 4

4.
2つの自然数A,Bがある。Aを4で割ると商がmで余りが3, Bを7で割ると商がnで余りが3mとなる。 A+Bを7で割ったときの商と余りを求めよ。

aで割ると商がxで、余りがyとなる数は ax+yと表せる
例えば、5で割ると商が3であまりが1なのは 5×3+1=16

4で割ると商がmで余りが3となる数は 4m+3 よって A =4m+3と表せる
7で割ると商がnで余りが3mとなる数は 7n+3m よって B = 7n+3mと表せる
すると 
A+B
= (4m+3)+(7n+3m)
= 4m+3m+7n+3
= 7m+7n+3
= 7(m+n)+3
m, nはともに整数なので(m+n)は整数となる。
すると 7(m+n)+3 は7で割ると3余る数で、商は(m+n)である

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