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式の計算 総合問題4 3

3. 影をつけた部分の面積を文字を用いて表わせ。
1辺xの正方形と、
直径xの半円を組み合わせた図形
x
△ABCはAB=ACの直角二等辺三角形で、
DE⊥BC,GF⊥BCである。
ABCDEFG3a2a


x 影の部分は図の赤い部分と同じものが4つでできている。
x─2x─22等分 赤い部分を2等分して、その部分の面積を求める。
この部分は半径x2、中心角90°のおうぎ形から
直角三角形を引いた図形である。

x─2x─2=
半径x2, 中心角90°のおうぎ形の面積 x2×x2×π×90360=πx216
直角三角形の面積 x2×x2×12=x28
おうぎ形から三角形を引くと πx216-x28
これが8個あるので
(πx216-x28)×8=πx22-x2



四角形DEFGは台形なので、面積は
(上底+下底)×高さ÷2となる。
図では(DE+FG)×2a÷2である。

ところで、BC=3a, EF=2aなので、BE+FC=a
また、△BED、△CFGはともに直角二等辺三角形なので
BE=DE, FC=FGである。
つまりDE+FG=BE+FC=aとなる。
よって台形DEFGの面積は a×2a÷2=a2
ABCDEFG3a2a

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