式の計算総合問題4 3

3. 影をつけた部分の面積を文字を用いて表わせ。
1辺xの正方形と、
直径xの半円を組み合わせた図形
△ABCはAB=ACの直角二等辺三角形で、
DE⊥BC,GF⊥BCである。

①
影の部分は図の赤い部分と同じものが4つでできている。
赤い部分を2等分して、その部分の面積を求める。
この部分は半径x2、中心角90°のおうぎ形から
直角三角形を引いた図形である。

半径x2, 中心角90°のおうぎ形の面積 x2×x2×π×90360=πx²16
直角三角形の面積　x2×x2×12=x²8
おうぎ形から三角形を引くと πx²16-x²8
これが8個あるので
(πx²16-x²8)×8=πx²2-x²

②
四角形DEFGは台形なので、面積は
(上底+下底)×高さ÷2となる。
図では(DE+FG)×2a÷2である。

ところで、BC=3a, EF=2aなので、BE+FC=a
また、△BED、△CFGはともに直角二等辺三角形なので
BE=DE, FC=FGである。
つまりDE+FG=BE+FC=aとなる。
よって台形DEFGの面積は a×2a÷2=a²