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相似の証明2 1解説

1.
∠ABC=90°の直角三角形の頂点A, Cから直線mにそれぞれ垂線を
おろし、交点をD, Eとする。このとき△ADB∽△BECを証明しなさい。
ABCDEm

ABCDEm 点D,B,Eは直線m上の点なので
∠ABD(黄色)、∠ABC(直角)、∠CBE(緑色)の3つの角の和が直線になり180°である。
∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°
このうち∠ABC=90°なので代入すると
∠ABD+90°+∠CBE=180°
∠ABD(黄色)+∠CBE(緑色) = 90°…①

次に△ADBで内角の和を考える。
△ADBの内角は ∠ABD(黄色)、∠ADB(直角)、∠DAB(赤色)の3つである。
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD+∠ADB+∠DAB=180°
∠ADB=90°とわかっているので代入すると
∠ABD+90°+∠DAB=180°
∠ABD(黄色)+∠DAB(赤色)=90°…②

①と②の式をくらべると
黄色+緑色=90°
黄色+赤色=90° となる。
つまり、緑色の∠CBEと赤色の∠DABの大きさが等しいとわかる。
∠CBE = ∠DAB…③

△ADBと△BECでは ∠ADBと∠BECがともに直角だと仮定からわかるので
∠ADB=∠BEC=90°…④
③、④の式から「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件が成り立つ。

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