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相似2 1(1)(2)解説

1(1)   図の△ABCで∠ACB=2∠ABCである。
∠ACBの二等分線と辺ABとの交点をDとする。
AB=12cm, AC=9cmである。
① ADの長さを求めよ。
② BCの長さを求めよ。
A B C D

(2) 図で△ABC∽△ADEである。∠ACE=∠ADEを証明せよ。 A B C D E

(1)

∠ACB=2∠ABCで、CDが∠ACBの二等分線なので
図のように∠ABC=∠DCB=∠ACDとなる。
すると2角が等しくなり△ABC∽△ACDになる。
対応する辺はABとAC, ACとAD
よって12:9=9:x
x=274
A B C D a a a A D C a 9 x 12 9 y 27─4 21─4

AD=274なので DB=12-274=214
∠DBC=∠DCBより 2角が等しいので△DBCは二等辺三角形 よってDC=214
BCとCDが対応する辺なので 12:9=y:274
y=7


(2)
△ABC∽△ADEで
対応する角が等しいので∠BAC=∠DAEである。
この2角の重なっている部分∠DACをそれぞれの角から
引いた残りは等しくなる。
すなわち
∠BAD = ∠BAC-∠DAC
∠DAE = ∠DAE-∠DAC
赤の角と青の角の大きさは等しいので、同じものから同じものを
引いた残りは同じもの
よって∠BAD=∠DAE…①

ABCDE
ここで△ABDと△ACEに着目する。
△ABC∽△ADEで
対応する辺の比は等しいので
AB:AD = AC:AEである。
変形して AB×AE=AD×AC
AB:AC=AD:AE…②
すると先程の①と②により
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD∽△ACEが証明できる。
これで∠ABD=∠ACEとなり、
さらに△ABC∽△ADEより ∠ABD=∠ADEになるので
∠ACE, ∠ADEがともに∠ABDと同じ大きさになるので
∠ACE=∠ADEが証明できる。
ABCDE
ABCDE

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