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角の二等分線と辺の比(発展) 4

4.  ∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。ADの長さを求めよ。
A B C D 15 18 12

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとすると
AB:AC=BD:DC
A B C D

ADが∠BACの二等分線なので AB:AC = BD:DC
BD=yとすると 15:12=y:(18-y)
5:4 = y:(18-y) 4y = 5(18-y)
4y+5y=90
y =10
A B C D 15 18 12 10 8
△ABCと△DACに着目してみると
A B C 15 18 12 A C D 12 8
∠Cは共通
BC:AC=18:12=3:2
AC:DC=12:8=3:2
2組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△DAC
よって AB:DA = 3:2 = 15:x
x = 10

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