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体積2 1,3

1. 次の体積を求めよ。
① ∠ABC=∠ABD=∠CBD=90°、
  AB=6cm, BC=8cm, BD=10cm

A B C D
② ∠AEB=∠AED=∠BED=∠EDC=90°
  AE=8cm, ED=6cm, BE=4cm, CD=10cm

A B C D E


3. 図1は底面が直角三角形(∠CBE=90°) の三角柱で、AB=12cm, BC=3cm, BE=8cmである。図2のように三角柱 の辺CD上にCG=5cmとなる点Gをとり 3点B,E,Gを通る平面でこの三角柱を 2つに分ける。2つに分けたそれぞれの 立体の体積を求めよ。
図1 A B C D E F 図2 A B C D E F G

角錐の体積 = 底面積 × 高さ × 13
1.
① AB⊥BD, AB⊥BCよりABと面DBCが垂直なことがわかる。
よって、△DBCを底面とするとABが高さとなる。
△DBCは∠CBD=90°の直角三角形で、BD=10, BC=8なので面積は 10×8÷2=40
AB = 6 より 三角錐A-BCDの体積は 40 × 6 × 13 =80

② AE⊥BE, AE⊥EDよりAEが面EBCDと垂直なことがわかる。
よって台形EBCDを底面とするとAEが高さとなる。
台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2
よってEBCDの面積は (4+10)×6÷2 =42
B C D E 4cm 10cm 6cm
よって四角錐A-BCDEの体積は 42×8×13 = 112

3.
BE⊥BC, BE⊥ABよりBEが面ABCDと垂直だとわかる。
よって、図2の小さい方の立体BCGEは
△BCGを底面とすると高さがBEとなる。
A B D E F G C 8
三角柱の側面はすべて長方形なので、
∠BCG=90°、BC=3, CG=5より
△BCGの面積は3×5÷2=152
三角錐E-BCGの体積は
152 × 8 ×13 = 20
B C G 3 5

図1の三角柱の体積
底面の△BCEは∠CBE=90°,BC=3, BE=8より面積 3×8÷2=12
三角柱の高さAB = 12より 体積12×12=144
図2の大きい方の立体はこの三角柱から、三角錐E-BCGを引けば出るので
144-20=124

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