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2次方程式の解き方(平方根)

2次方程式とは

xの2乗の項を含む方程式を2次方程式という。
ax2+bx+c=0 が一般の形。

2次方程式の解き方は2つ
平方根の考え方を使う解き方と
因数分解を使った解き方。


平方根の考え方を用いた解き方

(例1)
A2 = 3
A = ±3
→Aの2乗が3なので、Aは3の平方根になる。

(例2)
(x+5)2 = 3
x+5 = ±3
x = -5±3
→( )の中身を一かたまりと考え、(例1)と同様にして、
→(x+5)の2乗が3なので、(x+5)は3の平方根。
→ +5を移項。

【確認】2次方程式を解け。
x2 = 16 (x+2)2 = 5 (x-6)2 = 10

【答】x = ±4 x= -2±5 x= 6±10



上でやったように左辺がxの式の2乗右辺が数字であれば2次方程式を解くことが出来る。
この考え方をつかって(例3)を解く。

(例3)
x2+6x = 1 →左辺をxの式の2乗にするため両辺に9を足す。
x2+6x+9 = 1+9 左辺を因数分解すると(x+3)2 になる。
(x+3)2 = 10 →ここからは(例2)でやったのと同じ。
x+3 = ±10
x = -3±10

左辺にxの式の2乗を作るのがポイント。右辺には数字のみ。
(例3)の場合はxの係数が6だったので(x+3)2が作れる。

(例4)
x2+8x = 1 →左辺がxの式の2乗になるように両辺に数字を足す。
x2+8x+△ = 1+△ △と□には何が入るかを考える。ヒントは +8x
(x+□)2 = 1+△ →2乗を展開したときxの項が8になるのは□が4のときである。△は□の2乗なので16となる。
つまり、この式の場合8÷2=4なので□=4、 42 = 16 なので△ = 16となる。
x2+8x=1 x2+8x+16=1+16 (x+4)2=17 x+4=±17 x=−4±17

【確認】 次の2次方程式を解きなさい。
① x2+10x = -15 ② x2 + 6x +4 = 0

【答】①x = -5 ±10 ②x = -3 ±5

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