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動点2 1(1)(3)解説

1.
右の図の長方形ABCDにおいて点Pが頂点Aを出発して
毎秒2㎝の速さでA→B→C→Dと進む。
出発してからx秒後の△APDの面積をy㎝2とする。
ABCD10cm20cmP
(1)yをxの式で表せ。(xの変域もかくこと)
(3)△APDの面積が70㎝2になるのは何秒後か。すべて求めよ。

(1)
毎秒2cmで、x秒間に進む道のりは 2x(cm)である。
点PはA→B→C→Dと進むので、辺AB上、辺BC上、辺CD上のそれぞれにPがあるときで
面積yの求め方が異なる。そのため、xの変域を分けて式を出す。

辺AB上のとき
AB=10cmなので、出発から5秒で点PがBに到達する。
よってxの変域は 0≦x≦5である。
APの長さはPがx秒間に進んだ道のりなので
AP=2xである。
AD(20cm)を底辺とすると、高さはAP(2xcm)なので
面積は 20×2x÷2=20x
よって y=20x
ABCD10cm20cmP2x

辺BC上のとき
点PがBに到達するのが出発から5秒後で、
BC=20なのでCに到達するのがそこから10秒後
つまり出発から15秒後である。
よってxの変域は 5≦x≦15である。
△APDは図のようになり、辺ADを底辺とすると
高さは点Pから辺ADにおろした垂線なので
10cmのまま変化しない。
よって面積は 20×10÷2=100
y=100
ABCD10cm20cmP10cm

辺CD上のとき
点PがCに到達するのが出発から15秒後で、
CD=10なのでDに到達するのがそこから5秒後
つまり出発から20秒後である。
よってxの変域は 15≦x≦20である。
△APDは図のようになり、辺ADを底辺とすると
高さはDPになる。
図の青で示した線は出発からPが進んだ道のりで
長さは2x(cm)である。
DPの長さはAB+BC+DCから青線(2x)を引けば良い。
DP = 40-2x
よって面積は 20×(40-2x)÷2=400-20x
y=-20x+400
ABCD10cm20cm<P高さ

(3)
y=70をそれぞれの式に代入してxを出す。
70=20x
x=72

70=-20x+400
20x=330
x=332

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