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相似と面積比 1と3解説

≫ 4番の解説

1.  図で、AD:DB=AE:EC=2:1である。
△ABCの面積が54cm2のときの
台形DBCEの面積を求めよ。
A B C D E

AD:DB=AE:EC=2:1なのでAD:AB=AE:AC=2:3
∠Aが共通なので △ADE∽△ABC
相似比は2:3
すると面積比が4:9となるので 4:9=△ADE:54
△ADE=24
54-24=30
よって台形DBCEの面積は30cm2

3. AD//BCの台形ABCDで、AD=10cm,
BC=20cm, AE:EB=DF:FC=2:3である。
(1) EFの長さを求めよ。
(2) 台形AEFDと台形EBCFの面積比を求めよ。 A B C D E F

(1) G H 10cm 20cm 10cm 20cm 10cm 10cm 10cm 10cm Aを通りDCに平行な直線を補助線としてひき、
EFとの交点をG, BCとの交点をHとする。
AD//BC, AE:EB=DF:FC=2:3なのでAD//EF//BCである。
するとAGFDとGHCFはともに平行四辺形となる。
つまりAD=GF=HC=10cm
AE:EB=2:3なのでAE:AB=2:5,
EF//BCなので△AEG∽△ABH, 相似比2:5
EFをxとするとEG=x-10, EGと対応するのがBHなので
2:5=(x-10):10
5(x-10)=20
5x-50=20
5x=70
x=14

(2) 14cm 10cm 20cm 10cm 20cm 14cm P
BAとCDを延長し、その交点をPとする。
AD//EF//BCなので
△PADと△PEFと△PBCは互いに相似になる。
AD=10, EF=14, BC=20より相似比は5:7:10
面積比は25:49:100
台形AEFD=△PEF - △PAD =24
台形EBCF= △PBC - △PEF=51
よってAEFD:EBCF=24:51 =8:17

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