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体積1 4解説

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4. 次の平面図形をそれぞれ直線mを軸として1回転させてできる回転体の体積を求めよ。 6cm 3cm 10cm m m 6cm 8cm m 3cm 2cm 10cm

①の台形を直線mを軸に1回転させると
図のような円柱と円錐を組み合わせた立体になる。
円柱、円錐とも底面の半径が3cmで
円錐は高さが4cm, 円柱は高さが6cmである。

円錐の体積 3×3×π×4÷3=12π
円柱の体積 3×3×π×6 =54π
これらの和が求める立体の体積なので 12π+54π = 66π


②の三角形を直線mを軸として1回転させると
図のように円柱の中に円錐状の空間がある立体が出来る。
この体積は円柱から、円錐を引けば出せる。
底面の半径6cm, 高さ8cmなので
円柱の体積 6×6×π×8= 288π
円錐の体積 6×6×π×8÷3 = 96π
よって求める体積は 288π-96π = 192π


③の長方形を直線mを軸として1回転させると
図のように中に空洞のある円柱ができる。
外の円柱は半径5cm,中の空洞は半径2cm
ともに高さは10cm
外の円柱から空洞の体積を引けば求める回転体の
体積となる。
外の円柱 5×5×π×10=250π
中の空洞 2×2×π×10=40π
250π-40π=210π

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