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三平方の定理_特別な直角三角形

特別な直角三角形とは

三角定規になっている直角二等辺三角形と、正三角形を半分にした三角形は角度がそれぞれ 45°, 45°, 90° と 30°, 60°, 90°となり、3辺の長さの比が次のようになる。

特別な直角三角形の3辺の比
45° 45° 1 1 2 60° 30° 1 2 3

【説明】
1 1 A B C D 正方形を対角線で2つに分けると直角二等辺三角形ができる。
1辺1の正方形対角線の長さを求めると
AC2=12+12
AC2=2
AC=±2
AC>0よりAC=2
よって45°,45°,90°の直角二等辺三角形の辺の比は1:1:2となる。

1 2 2 2 A B C D 正三角形の1つの頂点から底辺に垂線をおろして2つに分けると
30°60°90°の直角三角形ができる

△ABDで三平方の定理を使うと
22=AD2+12
AD2=22-12
AD2=3
AD=±3
AD>0よりAD=3
よって30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:2:3となる。

※単に比を丸暗記するより成り立ちを理解したほうが間違いが少なくなる。


角度から特別な直角三角形だということがわかれば、1辺の長さから他の2辺の長さを出すことができる。

【例】
60° 8 x y A B C xとyを求める。
∠ABC=90°、∠ACB=60°なので、辺の比BC:AC:AB=1:2:3を使って求める。
8:x=2:3
2x=83
x=43

8:y=2:1
2y=8
y=4

【確認】 xやyを求めよ。
60° 6 x y x=43, y=23 45° 4 x x=22

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