特別な直角三角形_補助線が必要な問題

特別な直角三角形を使えそうな角度がわかっている場合、垂線を引くなどして特別な直角三角形を作る。
角度は30°60°45°のほか120°や75°,105°などに注目して特別な直角三角形を作る。

xの値を求めよ。

∠ACB=120°に着目し、その外角の60°を使って特別な直角三角形を作る。
頂点AからBCの延長線上に垂線をおろし交点をDとする。
すると△ACDが30°60°90°の直角三角形になるので
辺の比を使ってAD,CDの長さを出す。
8:AD=2:3
2AD=83
AD=43
8:CD=2:1
2CD=8
CD=4 　
△ABDは直角三角形なので、三平方の定理を使って
x²=(43)²+11²
x²=48+121
x²=169
x=±13
x>0よりx=13

類題練習 ≫

x,yの値を求めよ。

解説動画 ≫

∠ABC=60°、∠ACB=45°に着目して60°30°90°と45°45°90°の2つの三角形を作る。
頂点Aから辺BCに垂線を下ろし交点をDとする。
すると△ABDは60°30°90°の直角三角形になり
△ADCは45°45°90°の直角三角形になる。
△ABDで
　6:BD=2:1
　BD=3
　6:AD=2:3
　AD=33
△ADCで
　AD=DC=33
　33:x=1:2
　x=36
　y=BD+DC = 3+33

xの値を求めよ。

解説動画 ≫

∠BAC=75°を60°+15°に分ける。
辺BC上に点Dをとって∠CAD=60°になるように頂点Aから補助線を引く。
すると△ADCは60°30°90°の直角三角形となり
∠DAB=15°なので△ADBは二等辺三角形になる。
△ADCで
　1:AD=1:2
　AD=2
　1:CD=1:3
　CD=3
△ADBで
　AD=BDなのでBD=2
　x=BD+DC=2+3