円
円とは定点Oから一定の距離rにある点の集合である。
このときの定点Oを円の中心といい、距離rが円の半径である。
この定義を言い換えると、「半径はどこでも等しい」となる。
半径はどこでも等しいので、２つの半径OA, OBと弦ABによってできる三角形は必ず二等辺三角形である。
円周角とは
図のように円周上に点P,A,Bがあるとき
∠APBをABに対する円周角という。
円周角と中心角の関係
PからOに線を引くと、
△OPAと△OPBの２つの二等辺三角形ができる。
二等辺三角形なので底角が等しい。 そこでそれぞれの底角をaとbとする。
三角形の外角はそれと隣り合わない２つの内角の和に等しいので、図のように2a, 2bとなる。
円周角∠APB=a+bのとき、
中心角∠AOB=2a+2b=2(a+b)である。
よって円周角は中心角の半分になる。
上記の例のように円周角は中心角の半分の大きさになる。
また１つの弧に対する中心角は１つしかないので
Pがどこにあっても、１つの弧に対する円周角の大きさは一定だとわかる。
※円周角を考えるときには必ず弧を見る
円周角の定理
１つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。
【例】
(1)
∠APBはABに対する円周角である。
ABに対する中心角∠AOB=100°なので
∠APB=100°÷2=50°
(2) ∠AOBはABに対する中心角である。
ABに対する円周角∠APB=35°なので
∠AOB=35°×2=70°
【確認】 ∠xの大きさを求めよ。
24°
250°
30°
円周角 例題と練習問題
例題
円周角 三角形の外角の関係を使う問題 円周角 補助線をひく問題
