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円周角1

円とは定点Oから一定の距離rにある点の集合である。
このときの定点Oを円の中心といい、距離rが円の半径である。

この定義を言い換えると、「半径はどこでも等しい」となる。
半径はどこでも等しいので、2つの半径OA, OBと弦ABによってできる三角形は必ず二等辺三角形である。
A B O

円周角とは

O A B P 円周角 AB 図のように円周上に点P,A,Bがあるとき
∠APBをABに対する円周角という。


円周角と中心角の関係
A B P O a a b b 2a 2b < PからOに線を引くと、
△OPAと△OPBの2つの二等辺三角形ができる。 
二等辺三角形なので底角が等しい。 そこでそれぞれの底角をaとbとする。
三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので、図のように2a, 2bとなる。
円周角∠APB=a+bのとき、
中心角∠AOB=2a+2b=2(a+b)である。
よって円周角は中心角の半分になる。

P P P P P O A B 上記の例のように円周角は中心角の半分の大きさになる。
また1つの弧に対する中心角は1つしかないので
Pがどこにあっても、1つの弧に対する円周角の大きさは一定だとわかる。
※円周角を考えるときには必ず弧を見る

円周角の定理

 1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。

【例】
(1) A B O P 100° x ∠APBはABに対する円周角である。
ABに対する中心角∠AOB=100°なので
∠APB=100°÷2=50°

(2)  x A B O P 35° ∠AOBはABに対する中心角である。
ABに対する円周角∠APB=35°なので
∠AOB=35°×2=70°

【確認】 ∠xの大きさを求めよ。
x 48° O 24° 125° x O 250° O 30° x 30°

円周角 例題と練習問題

例題

円周角 三角形の外角の関係を使う問題 円周角 補助線をひく問題

練習問題

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