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式による説明2

次の問に答えなさい

2つの奇数の和は偶数になることを説明しなさい。

7の倍数と7の倍数の和は7の倍数になることを説明しなさい。

各位の数の和が3の倍数になるような2けたの自然数は3で割り切れることを説明しなさい。

3けたの自然数で各位の数の和が3の倍数なら、この3けたの自然数も3の倍数となる。
  これを説明しなさい。


整数を m, n とすると2つの奇数は 2m+1, 2n+1 とあらわせる。
これらの和は
(2m+1)+(2n+1) = 2m+2n+2
        = 2(m+n+1)
m, n ともに整数なので、m+n+1 も整数であり、2(m+n+1)は偶数となる。
よって2つの奇数の和は偶数になる
整数を m,n とすると 7 の倍数は 7m, 7n と表せる。
これらの和は 7m+7n = 7(m+n)
m, n ともに整数なので m+n も整数であり、7(m+n)は7の倍数である。
よって 7 の倍数と 7 の倍数の和は 7 の倍数になる
2 けたの自然数の十の位の数を x、一の位の数を y とする。
2 けたの自然数は 10x+y とあらわせる。・・・①
各位の数の和が 3 の倍数なので n を整数とすると、x+y=3n とあらわせる。・・・②
②の式を y について解くと y=3n-x となり、これを①の式に代入する。
10x+y =10x+(3n-x)
=9x+3n
=3(3x+n)
x, n ともに整数なので 3x+n も整数であり、3(3x+n)は 3 の倍数となり 3 で割り切れる。
よって各位の数の和が 3 の倍数になるような2けたの自然数は3で割り切れる
3 けたの自然数の百の位の数を x、十の位の数を y,一の位の数を z とする。
3 けたの自然数は 100x+10y+z とあらわせる。・・・①
また、各位の数の和が 3 の倍数なので n を整数として x+y+z=3n とあらわせる。・・・②
②の式を z について解くと z=3n-x-y となりこれを①に代入すると、
100x+10y+z =100x+10y+(3n-x-y)
=99x+9y+3n
=3(33x+3y+n)
x,y,n すべて整数なので(33x+3y+n)も整数であり、3(33x+3y+n)は 3 の倍数となる。
よって 3 けたの自然数で各位の数の和が 3 の倍数なら、この 3 けたの自然数も3の倍数となる。

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