式の計算(加法減法)

単項式・多項式

単項式とは 文字や数の乗法だけで作られた式のことを単項式という。
【例】
 ax, 3aby, −5x3, x, 2
1つの文字や数も単項式である。

多項式とは 単項式の和の形で表された式のことを多項式という、多項式の中の一つ一つの単項式がである。
【例1】多項式
x+y,  2x2+4x-1,  a2+2ab-3ab2-abc

【例2】多項式 4ax3+2ax2−8aの項
+、-の前で区切る↓
4ax3+2ax2 −8a
4ax3, 2ax2, −8aがこの多項式の項である。

次数
単項式の次数・・・ 単項式では、かけられている文字の数が次数である。
【例】
5abc
aとbとcの3つの文字がかけられているので
次数は3である


−8ax5
aが1つとxが5つ、合わせて6つで
次数は6である。

多項式の次数・・・各項の次数のうちで最も大きいものがその多項式の次数となる。
【例】
3ab2c+4ab+12c
それぞれの項の次数は、
3ab2c・・・4、+4ab・・・2、+12c・・・1
このうち、最も大きい次数は4
よってこの多項式の次数は4


8x4−12x2+21
各項の次数は、
8x4・・・4、−12x2・・・2、+21・・・0
最大が4なので、この多項式の次数は4

次数が1の式を1次式、 次数が3の式を3次式という場合もある。
【確認】
(1) 単項式をすべて選びなさい。
(ア) −ax3y (イ) 4a−5 (ウ) 12 (エ) x3−x
(ア) (ウ)

(2) 次の単項式や多項式の次数を答なさい。
(ア)3a3b4c (イ)2x3+3x2−9x (ウ)−7xyz (エ)ab4+abc−c
(ア)8 (イ)3 (ウ)3 (エ)5

単項式どうしの加減

単項式どうしは文字の部分が同じなら足し算、引き算することができる
これを「同類項をまとめる」という。

同類項とは 文字の部分が全く同じ項を同類項という。
【例】
−9x と 8x  5abc と 12abc  3x2 と -8x2
累乗の指数まで完全に同じでないと同類項ではない

同類項をまとめる 分配法則の逆を使うと同類項をまとめることができる
分配法則     (a+b)x = ax+bx
分配法則の逆  ax+bx = (a+b)x
【例1】2x + 5x
2x +5x=(2+5)x 分配法則の逆でxをかっこの外に出す =7x かっこの中を計算する  
【例2】3x+4y+5x-2y
3x+4y+5x-2y=(3+5)x+(4-2)y =8x+2y
↑同類項をそれぞれまとめる

【確認】 同類項をまとめよ。
(1) 3x+2y+7x+9y10x+11y (2) 8a+3-6a+122a+15

【例題】同類項をまとめる

【例題】 2x2+6x-7+5x2-14x+3 2 3 x3 5 2 x2y+ 5 6 1 6 x3 4 3 x2y−2
累乗の指数が異なるx2とxは同類項ではない。
また定数項は定数項どうしで計算する。

【解き方】

2x2+6x-7+5x2-14x+3
=(2+5)x2+(6-14)x+(-7+3)=7x2-8x-4



2 3 x3 5 2 x2y+ 5 6 1 6 x3 4 3 x2y−2 = ( 2 3 1 6 )x3+(− 5 2 4 3 )x2y+( 5 6 −2)= 1 2 x3 23 6 x2y− 7 6
【練習】
2x2-5xy+9+3x2-2xy-4
5x2-7xy+5
23x2-12xy+34-16x2+32xy-43 12x2+xy-712

式の加法・減法

多項式の加法

それぞれの式にかっこをつけて、+でつないぐ。
計算するときはかっこをそのままはずして同類項をまとめる。
【例】 7x-4yと 12x+5yをたす
(7x-4y) + (12x+5y) ↓かっこをはずす
=7x-4y+12x+5y ↓同類項をまとめる
=(7+12)x+(-4+5)y
=19x+y

多項式の減法

それぞれの式にかっこをつけて、-でつないぐ。
前に負の符号があるかっこをはずすときはかっこ内の各項の符号を変える
【例】 12a+5b から 7a-3bをひく
(12a+5b)-(7a-3b) 前に負の符号がついたかっこはずすとき、かっこ内の各項の符号をかえる
= 12a+5b-7a+3b ↓同類項をまとめる
= (12-7)a+(5+3)b
= 5a+8b

【練習】
3x2+5xy と -11x2+9xyをたす
(3x2+5xy)+(-11x2+9xy)
=3x2+5xy-11x2+9xy
=(3-11)x2+(5+9)xy
= -8x2+14xy
15a2-7b2 から 9a2-4b2をひく
(15a2-7b2)-(9a2-4b2)
=15a2-7b2-9a2+4b2
=(15-9)a2+(-7+4)b2
= 6a2-3b2

【例題】縦の計算

【例題】
4x−3y+5+)x −8 5x2+7ax−1−)3x2+9ax-4

縦書の加法では同類項を縦にそろえて和をだす。
4x−3y+5+)x−84+15x−35−8−3y

減法は下の式の各項の符号を変えて加法にして計算
5x2+7ax−1+)3x29ax+42x2−2ax+3
【練習】
x2  +3+)3x2-4x-7
-4x+4x2-4


2x2-3xy-4y2-)-3x2+5xy-2y2
5x2-8xy-2y2

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