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式による説明3

次の問に答えなさい

偶数と奇数の和は奇数になることを説明せよ。

3けたの自然数から、各位の数の和を引くと9の倍数になることを説明せよ。

7で割ると3余る数と、7で割ると4余る数との和は7の倍数になることを説明せよ。

2けたの自然数がある。この自然数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた自然数を5倍した数と、もとの自然数との和をPとする。 Pが3の倍数になることを説明せよ。


整数をn,mとする。偶数は2n, 奇数は2m−1と表せる。
これらの和は 2n+2m−1 = 2(n+m)−1
n, mが整数なので(n+m)も整数となり、2(n+m)−1は奇数である。
よって偶数と奇数の和は奇数となる。

百の位をx, 十の位をy, 一の位をzとすると
3けたの自然数は100x+10y+zである。
また各位の数の和は x+y+zとなる。
その差は
(100x+10y+z)−(x+y+z)= 99x+9y =9(11x+y)
x,yが整数なので(11x+y)も整数となり、9(11x+y)は9の倍数である。
よって3けたの自然数から、各位の数の和を引くと9の倍数になる

整数をnとすると7で割ると3余る数は7n+3となる。
整数をmとすると7で割ると4余る数は7m+4となる。
これらの和は
(7n+3)+(7m+4)=7n+7m+7 =7(n+m+1)
n, mが整数なので(n+m+1)も整数となり、7(n+m+1)は7の倍数である。
よって7で割ると3余る数と、7で割ると4余る数との和は7の倍数になる

十の位の数をx, 一の位の数をyとする。
2けたの自然数は10x+yとなり、
十の位の数と一の位の数を入れ替えた数は10y+xとなる。
すると
P=(10x+y)+5(10y+x) =15x+51y =3(5x+17y)
x, yが整数なので(5x+17y)も整数となり3(5x+17y)は3の倍数である。
よってPは3の倍数となる。

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