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式による説明3

各位の数の和が9の倍数になる自然数は9で割り切れる。これを2けたの自然数について説明せよ。

2けたの自然数は10x+yと表せる。
9の倍数は9nと表せる。

十の位の数をx, 一の位の数をyとすると、2けたの自然数は 10x+y・・・① となる。
各位の数の和が9の倍数なのでnを整数として x+y=9n・・・② となる。
①と②でx、yのどちらかを消去して計算する。
②を変形してy=9n−x これを①に代入すると
10x+y=10x + 9n−x =9x + 9n =9(x+n)
x, nともに整数なので(x+n)も整数となり9(x+n)は9の倍数である。
よって各位の数の和が9の倍数となる2けたの自然数は、9の倍数になる。

【練習】

各位の数の和が9の倍数になる自然数は9で割り切れる。これを3けたの自然数について説明せよ。 百の位の数をx, 十の位の数をy, 一の位の数をzとすると 3けたの自然数は 100x+10y+z・・・① となる。
各位の数の和が9の倍数なので、nを整数として x+y+z=9n・・・②となる。
②を変形して z = 9n−x−y これを①に代入すると
100x+10y+z=100x+10y+9n−x−y =99x + 9y + 9n =9(11x + y + n)
x, y, nが整数なので(11x+y+n)も整数となり、9(11x+y+n)は9の倍数である。
よって各位の数の和が9の倍数となる3けたの自然数は、9の倍数になる。

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