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平行四辺形の性質の利用3

次の問いに答えよ。

(1) 図で四角形ABCDは平行四辺形である。また△BCEは∠CBE=90°,BC=BEの直角二等辺三角形で、△DCFは∠CDF=90°、CD=FDの直角二等辺三角形である。このとき△ABE≡△FDAを証明せよ。

A B C D E F

(2) ABCDの辺BCを一辺とする正三角形BECと、辺CDを一辺とする正三角形CFDを作る。 このときAE=AFとなることを証明せよ。

A B C D E F

(3) ABCDの辺AB、BCをそれぞれ一辺とする正三角形ABE、正三角形BCFをつくる。 このとき△AED≡△CDFとなることを証明せよ。

A B C D E F

(1)

△ABEと△FDAにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)…①
FD=CD(仮定) …②
①②よりAB=FD …③
BE=BC(仮定) …④
BC=DA(平行四辺形の対辺) …⑤
④⑤よりBE=DA …⑥
∠ABE=360-∠ABC-∠EBC …⑦
∠FDA=360-∠CDA-∠FDC …⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角) …⑨
∠EBC=∠FDC=90°(仮定) …⑩
⑦⑧⑨⑩より∠ABE=∠FDA… ⑪
③⑥⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA

(2)

△ABEと△FDAにおいて
AB=DC(平行四辺形の対辺)・・・①
FD=DC(正三角形の辺)・・・②
①、②よりAB=FD・・・③
BE=CB(正三角形の辺)・・・④
DA=CB(平行四辺形の対辺)・・・⑤
④、⑤よりBE=DA・・・⑥
∠ABE=∠ABC+∠CBE・・・⑦
∠FDA=∠CDA+∠CDF・・・⑧
∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角)・・・⑨
∠CBE=∠CDF=60°(正三角形の角)・・・⑩
⑦、⑧、⑨、⑩より∠ABE=∠FDA・・・⑪
③、⑥、⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△FDA
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAE=FA  

(3)

△AEDと△CDFにおいて
∠DAE=∠DAB-∠EAB・・・①
∠DCF=∠BCD-∠FCB・・・②
∠DAB=∠BCD(平行四辺形の対角)・・・③
∠EAB=∠FCB=60°(正三角形の角)・・・④
①②③④より∠DAE=∠DCF・・・⑤
AB=AE(正三角形の辺)・・・⑥
AB=CD(平行四辺形の対辺)・・・⑦
⑥⑦よりAE=CD・・・ ⑧
BC=CF(正三角形の辺)・・・⑨
BC=AE(平行四辺形の対辺)・・・⑩
⑨⑩よりCF=AE・・・⑪
⑤⑧⑪より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AED≡△CDF

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