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平行四辺形になるための証明2

次の問に答えよ

(1)  ABCDにおいて∠ABCと∠CDAの二等分線が辺AD, BCとそれぞれE, Fで交わっている。  このとき四角形BFDEが平行四辺形になることを証明しなさい。

A B C D E F

(2)  ABCDでAE=CG, BF=DHのとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。 

A B C D E F G H

(3)  ABCDの対角線BD上に頂点AとCから垂線を下ろしその交点をE, Fとする。  このとき四角形AECFが平行四辺形になることを証明せよ。

A B C D E F

1.

(1)
 四角形EBFDにおいて
∠ABE=∠EBF(角の二等分線)・・・①
∠AEB=∠EBF(AD//CBの錯角)・・・②
∠CDF=∠FDE(角の二等分線)・・・③
∠CFD=∠FDE(AD//CBの錯角)・・・④
∠ABC=∠ADC(平行四辺形の対角)・・・⑤
①②③④⑤より∠ABE=∠AEB=∠EBF=∠CDF=∠FDE=∠CFD・・・⑥
よって、∠EBF=∠FDE・・・⑦
∠DEB=180°-∠AEB・・・⑧
∠BFD=180°-∠CFD・・・⑨
⑥ より∠AEB=∠CFDなので ∠DEB=∠BFD・・・⑩
⑦、⑩より2組の対角がそれぞれ等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる。
(2)   
   △AEHと△CGFにおいて
AE=CG (仮定)・・・①
AD=CB(平行四辺形の対辺)・・・②
DH=BF(仮定)・・・③
②、③よりAH=CF・・・④
∠HAE=∠FCG(平行四辺形の対角)・・・⑤
①、④、⑤より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AEH≡△CGF
合同な三角形の対応する辺は等しいのでEH=GF・・・⑥
△BFEと△DHGにおいて
同様にすると△BFE≡△DHG
対応する辺が等しいのでFE=HG・・・⑦
⑥ 、⑦より2組の対辺がそれぞれ等しいので四角形EFGHは平行四辺形となる。
(3)
△ABEと△CDFにおいて
AB=CD (平行四辺形の対辺)
∠ABE=∠CDF (AB//CDの錯角)
∠AEB=∠CFD=90°(垂線)
よって直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAE=CF・・・①
∠AEF=∠CFE=90°(垂線)
よって、錯角が等しいのでAE//CF・・・②
①、②より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形AECFは平行四辺形となる。

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